끈질긴 성주

옛날에 어느 성주가 있었다. 어느 날 이 성주는 탑 위에 둥지를 틀고 앉아 있는 새를 발견하였다. 성주는 이 새를 산채로 잡아야겠다고 생각하고는 탑 안으로 살짝 들어갔다. 그러자 새는 이를 알아차리고 곧장 둥지를 떠났다. 탑 주위를 빙빙 돌던 새는 성주가 탑에서 나오자 다시 둥지로 돌아왔다. 이러기를 몇 번 되풀이하다가 성주는 한 가지 꾀를 생각해 냈다.

그는 즉시 하인 2명을 불러 둘이 탑 안으로 함께 들어갔다가 한 명만 나오도록 했다. 그렇게 하면 새가 속아서 둥지로 돌아 올 테니 탑 안에 남아 있던 하인이 새를 붙잡을 수 있을 거라고 생각했던 것이다. 과연 어떻게 되었을까? 새는 하인 한 명이 마저 나을 때까지 돌아오지 않더니 나머지 사람이 할 수 없이 나오자 거제서야 등지로 돌아왔다. 이 계획이 실패하자 성주는

세 사람의 하인에게 함께 탑 안에 들어갔다가 두 사람이 먼저 차례대로 나오라고 시켰다. 이번에는 새가 잡혔을까? 세 사람이 탑 안에 들어오는 것을 보고 둥지를 떠난 새는 첫 번째 사람이 나와도, 두 번째 사람이 나와도 돌아오지 않다가 마지막 사람이 나오자 비로소 등지로 돌아왔다. 이제 성주는 한 사람을 더 불러

4명의 하인에게 이 영리한 새를 잡게 해보았다. 그러나 이번에도 새는 속지 않았다. 일이 이쯤 되자 성주는 새를 꼭 잡아야겠다는 생각에 다시 5명의 하인을 시켜 보았다. 이번에는?

5명의 하인 중 첫 번째 사람이 나와도, 두 번째, 세 번째 사람이 나와도 새는 둥지로 돌아오지 않았다. 그런데 이 게 웬일인가! 네 번째 사람이 탑을 나오자 새가 탑 안으로 들어가는 것이었다. 결국 새는 탑 안에 남아 있던 다섯 번째 하인에게 잡히고 말았다. 끈기 있는 성주가 드디어 성공한 것이다.

개는 3, 4를 구별 할 수 있을까

새는 2와 1, 3과 1, 3과 2, 4와 1, 4와 2, 4와 3, 5와 1, 5와 2, 5와 3까지는 구별할 수 있지만 5와 4의 구별은 할 수 없었다.

개는 3, 4를 구별 할 수 있을까? : 단지 전해 내려오는 이야기이지만 과연 동물들이 어느 정도까지 수를 구별할 수 있고, 얼마까지 셀 수 있을까 하는 꽤 흥미로운 문제이다. 그래서 심리학 교수들은 여러 동물들을 대상으로 실험을 해보았다. 그 결과 까마귀, 비둘기, 닭, 앵무새 같은 조류는 2와 1, 3과 1, 3과 2, 4와 1,4와 2, 4와 3 정도까지 구별이 가능하다고 알려졌다. 이들 조류는 사람처럼 수를 셀 수 있는 것은 아니고 단지 눈에 확실히 띄는 정도의 개수를 구별할 수 있는 것이다. 또 쥐, 개, 말 같은 동물들은 1에서 3까지, 드물게는 4까지의 수를 이해한다. 사람과 많이 닳은 원숭이는 1에서 3까지를, 침팬지는 1에서 5까지의 수를 이해할 수 있다고 한다. 인간은 물론 짐승과 다르다. 수를 헤아리는 데서도 인간은 한없이 큰 수까지 이해할 수 있다. 그러나 인간도 한 번 보고 기억할 수 있는 수는 제한이 있다.

사람들이 한 번 힐끗 보고 기억할 수 있는 숫자는 최고 몇 자리 수일까? 그것은 네 자리이다. 자동차의 앞뒤에 붙은 번호 판이 그걸 증명한다. '부산 1 가-1234.' 그런 증거는 또 있다. 바로 전화 번호이다. 어느 나라이건 모두 국과, 번호를 구분하여 각각 네 자리를 넘지 않는다. '517-1234.' 이것은 인간이 다섯 자리 이상의 수를 한 번에 기억하기 힘들기 때문에 취해진 배려이지 않을까?

엄청 큰 수

엄청 작은 수

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자연수에서 정수로

유리수의 탄생

무리수의 탄생

"만물의 근원은 수이다"라는 말로 유명한 피타고라스는 선분을 '점들의 모임'이라고 생각하였다. 따라서 모든 선분의 길이는 이 같은 점들의 개수 즉 유리수로 나타낼 수 있다고 믿었다. 그는 또 많은 연구끝에 피타고라스 정리를 발견 하였는데 우습게도 거기에서 선분의 길이를 유리수로 나타낼 수 없는 당혹스러운 경우를 당하게 되었다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 a라 하면 a × a = 2가 되어야 한다. 그러나 제곱해서 2가 되는 유리수는 없다. 이 때 비로소 지금까지의 '모든 수는 유리수'라는 생각이 잘못되었음이 밝혀지게 된 것이다. 피타고라스 학파는 이 난처한 결과를 쉬쉬했으나 결국 무리수의 존재가 드러난 셈이다. 무리수의 등장으로 말미암아 수는 유리수와 무리수 즉 실수의 범위로 확대되었고 수직선을 빈틈없이 꽉 채울 수 있게 되었다. 이로 피타고라스정리를 발견하고 나서 너무 기쁜 나머지 "이것은 내 힘이 아니다. 내가 믿는 신의 힘으로 발견할 수 있었던 거야"라고 외치고는 신에게 황소 300마리를 바쳤다고 전해진다

자연수, 0, 음수를 정수라 하며 정수, 분수(유한소수, 순환소수)를 유리수라 한다. 이들 수 중 2를 제곱하면 4, -2를 제곱하면 4가 됨이 확실하다. 즉 제곱해서 4가 되는 수는 2, -2임을 알 수 있다. 그렇다면 제곱해서 2가 되는 수는 무엇일까 ? 1을 제곱하면 1, 2를 제곱하면 4가 되니 1과 2의 중간인 1.5일까? 1.5를 제곱해 보자 1.5 × 1.5하면 2.25로 2보다 큰 수가되니 1.4×1.4를 해 보자 1.96으로 2보다 작은 수가되니 소수 아래 1.41×1.41을 해 보자 1.9881로 2보다 작은 수가되니 1.42×1.42를 해 보자 2.0164가 되어 한자리 더 내려 1.414×1.414를 해보자 1.999396이 되어 2보다 작은 수가되니 1.415×1.415를 해보자2.00225로 2보다 크니 한자리 더 내려 1.4142×1.4142 이러한 방법(소수 아래 한자리씩 내려가며 좁혀나가는 방법)을 협공법이라 하며 계속 구해 내려가면 1.41421356237...로 소수 아래 반복되는 수(순환마디) 없이 끝없이 이어지는 비 순환 무한 소수가 된다. 이는 분수로 표현할 수 없어 무리수라 한다. 따라서 자연수, 정수, 유리수, 무리수의 모임을 실수라 한다.

허수의 탄생

"만물의 근원은 수이다"라는 말로 유명한 피타고라스는 선분을 '점들의 모임'이라고 생각하였다. 따라서 모든 선분의 길이는 이 같은 점들의 개수 즉 유리수로 나타낼 수 있다고 믿었다. 그는 또 많은 연구끝에 피타고라스 정리를 발견 하였는데 우습게도 거기에서 선분의 길이를 유리수로 나타낼 수 없는 당혹스러운 경우를 당하게 되었다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 a라 하면 a × a = 2가 되어야 한다. 그러나 제곱해서 2가 되는 유리수는 없다. 이 때 비로소 지금까지의 '모든 수는 유리수'라는 생각이 잘못되었음이 밝혀지게 된 것이다. 피타고라스 학파는 이 난처한 결과를 쉬쉬했으나 결국 무리수의 존재가 드러난 셈이다. 무리수의 등장으로 말미암아 수는 유리수와 무리수 즉 실수의 범위로 확대되었고 수직선을 빈틈없이 꽉 채울 수 있게 되었다. 이로 피타고라스정리를 발견하고 나서 너무 기쁜 나머지 "이것은 내 힘이 아니다. 내가 믿는 신의 힘으로 발견할 수 있었던 거야"라고 외치고는 신에게 황소 300마리를 바쳤다고 전해진다

자연수, 0, 음수를 정수라 하며 정수, 분수(유한소수, 순환소수)를 유리수라 한다. 이들 수 중 2를 제곱하면 4, -2를 제곱하면 4가 됨이 확실하다. 즉 제곱해서 4가 되는 수는 2, -2임을 알 수 있다. 그렇다면 제곱해서 2가 되는 수는 무엇일까 ? 1을 제곱하면 1, 2를 제곱하면 4가 되니 1과 2의 중간인 1.5일까? 1.5를 제곱해 보자 1.5 × 1.5하면 2.25로 2보다 큰 수가되니 1.4×1.4를 해 보자 1.96으로 2보다 작은 수가되니 소수 아래 1.41×1.41을 해 보자 1.9881로 2보다 작은 수가되니 1.42×1.42를 해 보자 2.0164가 되어 한자리 더 내려 1.414×1.414를 해보자 1.999396이 되어 2보다 작은 수가되니 1.415×1.415를 해보자2.00225로 2보다 크니 한자리 더 내려 1.4142×1.4142 이러한 방법(소수 아래 한자리씩 내려가며 좁혀나가는 방법)을 협공법이라 하며 계속 구해 내려가면 1.41421356237...로 소수 아래 반복되는 수(순환마디) 없이 끝없이 이어지는 비 순환 무한 소수가 된다. 이는 분수로 표현할 수 없어 무리수라 한다. 따라서 자연수, 정수, 유리수, 무리수의 모임을 실수라 한다.